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In mwcqmatematica, il mwcgsimplesso mwcw n {\displaystyle n} -dimensionale è il mwdapolitopo mwdq n {\displaystyle n} -dimensionale col minor numero di mwdgvertici. Il simplesso di dimensione zero è un singolo punto, il simplesso di dimensione uno è un segmento, il simplesso bidimensionale un mwdwtriangolo e quello tridimensionale un mweatetraedro. Il simplesso mweq n {\displaystyle n} -dimensionale ha mweg n + 1 {\displaystyle n+1} vertici. Come tutti i politopi, il simplesso ha facce di ogni dimensione: queste sono tutte a loro volta simplessi. Per la sua semplicità, il simplesso è generalmente ritenuto il "blocco base" con cui costruire spazi mwew n {\displaystyle n} -dimensionali più complicati tramite un processo detto mwfatriangolazione.

• Origine del nome

• Proprietà

• Definizione

• Esempi

• Facce di un simplesso

• Il simplesso standard

• Note

• Voci correlate

• Altri progetti

• Collegamenti esterni

Il concetto di simplesso era noto a mwgaWilliam Kingdon Clifford, che scrisse di queste forme nel 1886 però chiamandole "prime confines". mwgqHenri Poincaré, scrivendo nel 1900 di mwggtopologia algebrica, le chiamò "tetraedri generalizzati". Nel 1902 Pieter Hendrik Schoute descrisse il concetto prima col superlativo mwhalatino mwhqsimplicissimum ("il più semplice") e poi con lo stesso aggettivo latino nella forma normale mwhgsimplex ("semplice").cite-ref-1[1]

L'ipervolume di un simplesso mwjg n {\displaystyle n} -dimensionale di lato mwjw l {\displaystyle l} è:

mwkg l n ⋅ ⋅ n + 1 n ! 2 n {\displaystyle l^{n}\cdot {\frac {\sqrt {n+1}}{n!{\sqrt {2^{n}}}}}} cite-ref-2[2]

L'angolo diedrale di un simplesso mwma n {\displaystyle n} -dimensionale è mwmq arccos ⁡ ⁡ ( 1 n ) {\textstyle \arccos {\left({\frac {1}{n}}\right)}} cite-ref-3[3], e l'angolo che il centro del simplesso forma con due suoi vertici è (in quanto supplementare del precedente) mwng arccos ⁡ ⁡ ( − − 1 n ) {\textstyle \arccos {\left(-{\frac {1}{n}}\right)}} .

Una definizione matematica rigorosa di simplesso si basa sulle nozioni di mwoqinviluppo convesso e di punti in mwogposizione generale.

In uno mwpaspazio vettoriale, mwpq n + 1 {\displaystyle n+1} punti mwpg x 1 , … … , x n + 1 {\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n+1}} sono in mwpwposizione generale se i vettori

mwqg x 2 − − x 1 , x 3 − − x 1 , … … , x n + 1 − − x 1 {\displaystyle x_{2}-x_{1},x_{3}-x_{1},\ldots ,x_{n+1}-x_{1}}

sono mwralinearmente indipendenti. Analogamente, sono in posizione generale se il più piccolo mwrqsottospazio affine che li contiene ha mwrgdimensione mwrw n {\displaystyle n} .

Un mwsqsimplesso mwsgn-dimensionale è l'mwswinviluppo convesso di mwta n + 1 {\displaystyle n+1} punti mwtq x 1 , … … , x n + 1 {\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n+1}} in posizione generale in uno mwtgspazio euclideo mwtw R m {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}} . Gli mwua n + 1 {\displaystyle n+1} punti sono i mwuqvertici del simplesso, che è spesso indicato con

mwva [ x 1 , … … , x n + 1 ] . {\displaystyle [x_{1},\ldots ,x_{n+1}].}

Lo spazio euclideo ha necessariamente dimensione mwvg m ≥ ≥ n {\displaystyle m\geq n} .

• Un simplesso mwwg 1 {\displaystyle 1} -dimensionale è l'inviluppo di due punti, ossia un mwwwsegmento.

• Un simplesso mwxq 2 {\displaystyle 2} -dimensionale è l'inviluppo di tre punti non allineati, ossia un mwxgtriangolo.

• Un simplesso mwya 3 {\displaystyle 3} -dimensionale è l'inviluppo di quattro punti non complanari, ossia un mwyqtetraedro.

• Un simplesso mwyw 4 {\displaystyle 4} -dimensionale ha 5 vertici ed è chiamato mwzaipertetraedro.

Se mwzw x 1 , … … , x n + 1 {\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n+1}} sono in posizione generale, anche mwaa k + 1 {\displaystyle k+1} di questi punti, presi in modo arbitrario (con mwaq k < n {\displaystyle k<n} ) sono in posizione generale; il simplesso mwag k {\displaystyle k} -dimensionale da essi generato è chiamato mwawfaccia mwba k {\displaystyle k} -dimensionale dell'originario simplesso mwbq n {\displaystyle n} -dimensionale. In particolare, i vertici sono le mwbg 0 {\displaystyle 0} -facce del simplesso.

Ad esempio, tra i 4 vertici di un tetraedro si possono individuare 4 diversi sottoinsiemi composti da 3 vertici ciascuno, corrispondenti a 4 facce triangolari.

In generale, il numero di mwcq k {\displaystyle k} -facce in un simplesso mwcg n {\displaystyle n} -dimensionale è uguale al mwcwcoefficiente binomiale mwda ( n + 1 k + 1 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}n+1\\k+1\\\end{pmatrix}}} , cioè al numero di sottoinsiemi di mwdq k + 1 {\displaystyle k+1} elementi di un insieme di mwdg n + 1 {\displaystyle n+1} elementi.

Il mwfqsimplesso standard mwfg Δ Δ n {\displaystyle \Delta ^{n}} di dimensione mwfw n {\displaystyle n} è l'inviluppo convesso

mwgg [ e 1 , … … , e n + 1 ] {\displaystyle [e_{1},\ldots ,e_{n+1}]}

della mwhabase canonica mwhq e 1 , … … , e n + 1 {\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n+1}} di mwhg R n + 1 {\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}} . In altre parole,

mwiq Δ Δ n = { ( x 1 , … … , x n + 1 ) ∈ ∈ R n + 1 : ∑ ∑ i = 1 n + 1 x i = 1 , x i ≥ ≥ 0 ∀ ∀ i } . {\displaystyle \Delta ^{n}=\{(x_{1},\ldots ,x_{n+1})\in \mathbb {R} ^{n+1}:\sum _{i=1}^{n+1}x_{i}=1,\ x_{i}\geq 0\,\forall i\}.}

Le mwiw x i {\displaystyle x_{i}} sono chiamate mwjacoordinate baricentriche di un punto nel simplesso.

cite-note-11. ↑ mwkwJeff Miller, mwlamwlqSimplex, in mwlgEarliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics. mwlwURL consultato il 4 febbraio 2018.

cite-note-22. ↑ mwmwPaul Stein, mwnamwnqA Note on the Volume of a Simplex, in mwngThe American Mathematical Monthly, vol.mwnw 73, n.mwoa 3, 1966, pp.mwoq 299-301.

cite-note-33. ↑ mwpqHarold R. Parks, Dean C. Wills, mwpgmwpwAn Elementary Calculation of the Dihedral Angle of the Regular n-Simplex, in mwqaThe American Mathematical Monthly, vol.mwqq 109, n.mwqg 8, ottobre 2002, pp.mwqw 756-758.

• mwrwCalcolo di Regge

• mwsqCoordinate baricentriche

• mwswAlgoritmo del simplesso

• mwtqDiagramma ternario

Altri progetti

• Wikimedia Commons

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su simplesso

• citerefmathworld(EN) Eric W. Weisstein, Simplex, su MathWorld, Wolfram Research.